МЕТОД ПОДБОРА ПОСТРОЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ высших порядков

  ОДУ высших порядков. Понижение порядка

  Линейные ОДУ n-го порядка

  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

  Структура решения линейного ОДУ n-го порядка

  Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

 Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами

 Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения

 Уравнение Эйлера

  Системы дифференциальных уравнений

  Численные методы решения ОДУ

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = f(x).

Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.

Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cnyn(x) + y*(x),

где С1, С2, ..., Сn — произвольные постоянные, y1(x), y2(x), ..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

 

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).

Здесь Mm(x) — многочлен степени m, Nn(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в том, что частное решение уравнения

отыскивают в виде

y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx))xr,

где Pk(x) и Qk(x) — многочлены степени k = max(n, m) с неизвестными коэффициентами,

Pk(x) = pkxk + pk-1xk-1 + ... + p1x + p0, Qk(x) = qkxk + qk-1xk-1 + ... + q1x + q0.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов Pk(x) и Qk(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(Pk(x)cos(βx) + Qk(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx),  x2exp(αx)cos(βx), x2exp(αx)sin(βx), ...,   xkexp(αx)cos(βx), xkexp(αx)sin(βx).

Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

 

Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:

Mk(x),  Mk(x)exp(αx),  Mk(x)cos(βx),   Mk(x)sin(βx),  exp(αx)(Mm(x)cos(βx) + Nn(x)sin(βx)).  

Подробнее Примеры  
© МЭИ (ТУ) 2007