Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение 2–го порядка с постоянными коэффициентами a и b

y '' + 2ay ' + by = 0.

Если a² < b и a > 0 , то общее решение уравнения имеет вид

Его можно записать в виде

Функция y(x) = A exp(− ax) cos(ωx − φ) непериодическая, но ее нули, максимумы и минимумы, повторяются с периодом T = 2π/ω . Этот период равен периоду колебаний гармонического осциллятора с частотой ω .

Колебания   y(x) = Aexp (− ax)cos(ωx − φ) называются затухающими колебаниями, y(x) → 0 при x → + ∞ .

Величина Aexp (− ax) называется амплитудой колебаний; величина δ = a коэффициентом затухания.

Коэффициент затухания δ записывают в виде δ =1/τ , τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Величина d = δ · T = 2πδ/ω называется логарифмическим декрементом затухания. Она показывает, насколько уменьшится амплитуда за один период. Логарифмический декремент — естественная мера скорости затухания.

Колебания, которые описывает дифференциальное уравнение y '' + 2ay ' + by = 0 , называют ангармоническими колебаниями.

На рисунке приведены графики решений уравнения  y '' + y ' + 4y =0 , проходящих через точку (0,0) с различными начальными скоростями y '(0)