СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОДУ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ высших порядков

  ОДУ высших порядков. Понижение порядка

  Линейные ОДУ n-го порядка

 Линейные ОДУ n-го порядка. Введение

 Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции

 Существование и единственность решения задачи Коши

 Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания

 Линейные уравнения 2-го порядка. Ангармонические колебания

 Линейные уравнения 2-го порядка. Уравнение Ньютона

  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

  Структура решения линейного ОДУ n-го порядка

  Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

  Системы дифференциальных уравнений

  Численные методы решения ОДУ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).

с непрерывными коэффициентами an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и непрерывной правой частью f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений.

1. Если y1(x) и y2(x)— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0

то любая их линейная комбинация y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y1(x) и y2(x) — два решения линейного неоднородного уравнения L(y) = f(x) , то их разность y(x) = y1(x) − y2 (x) является решением однородного уравнения L(y) = 0 .

 
3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
 
4. Если y1(x) и y2(x) — решения линейных неоднородных уравнений L(y) = f1(x) и L(y) = f2(x) соответственно, то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением неоднородного уравнения L(y) = f1(x) + f2(x).
 
Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции.

© МЭИ (ТУ) 2007