Уравнением колебаний называют линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Однородное уравнение y'' + ω₀²y = 0 описывает свободные колебания материальной точки с частотой ω₀².

Неоднородное уравнение — колебания материальной точки под действием внешней периодической силы Fcosωx, частота которой ω.

Найдём общее решение уравнения колебаний в случае, когда частота свободных колебаний не совпадает с частотой внешней вынуждающей силы.

Характеристическое уравнение однородного уравнения λ² + ω₀² = 0 имеет пару комплексно сопряжённых корней λ_1,2 = ± i ω₀.

Фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции cosω₀x, sinω₀x. Общее решение однородного уравнения имеет вид

y(x, C₁, C₂) = C₁cosω₀x + C₂sinω₀x.

Правая часть уравнения — квазимногочлен exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx))≡Fcosωx , у которого α = 0, β = ω, M_m(x)= M₀ = F, N_n(x)= 0, α ± iβ = iω.

Поскольку ω ≠ ω₀, среди коренй характеристического уравнения нет корня, равного кроню характеристического уравнения.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения y*(x) в виде y*(x) = A cosω x + B sin ω x.

Подставим в уранение:

y = A cosω x + B sin ω x, y' = −Aω sinω x + B ωcos ω x, y'' = −Aω² cosω x − Bω² sin ω x,

y'' + ω₀²y = −Aω² cosω x − Bω² sin ω x + ω₀²A cosω x + B sin ω x = A(−ω² + ω₀²)cosω x + B (−ω² + ω₀²)sinω x = Fcosωx.

Приравняв коэффициенты в левой и правой части уравнения  A(−ω² + ω₀²)cosω x + B (−ω² + ω₀²)sinω x = Fcosωx,

получим систему линейных уравнений,

решение которой B = 0, A = F/(−ω² + ω₀²) и тогда частное решение неоднородного уравнения

Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения