| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0.
Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа.
Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).
Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:
y(x) = exp(λx),
y'(x) = λexp(λx),
y''(x) = λ2exp(λx),... ,
yn(x) = λnexp(λx),
λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0,
exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0.
Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда
λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.
Уравнение λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 называется характеристическим многочленом уравнения.
Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).
Для того чтобы функция y(x) = exp(λ0x) была решением уравнения y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического уравнения λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.
Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:
y(x) = C1exp(λ1x) + C2exp(λ2x)+ ...+ Cnexp(λnx).
| Подробнее | Примеры |