АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Примеры

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ высших порядков

  Системы дифференциальных уравнений

 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия

 Фазовое пространство Фазовые траектории

 Существование и единственность решения задачи Коши

 Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения

  Линейные системы OДУ. Структура решения

  Системы ОДУ. Поведение решений

 Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

 Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову

 Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ

 Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению

 Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем

  Автономные системы дифференциальных уравнений

  Численные методы решения ОДУ

Исследуем на устойчивость решение задачи Коши

Очевидно, что это решение задачи — тривиальное решение, точка покоя системы, φ(t) = 0,( т.е. φ1(t) = 0, φ2(t) = 0).

Докажем, что это нулевое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову при t → ∞.

Легко видеть, что решение системы, проходящее через точку (0, x1(0) , x2(0)), имеет вид:

Возьмём произвольное ε > 0, δ = ε и исследуем поведение при t → ∞ тех решений x= x(t), которые удовлетворяют условию x(0) − φ(0) ‌ < δ, δ > 0 :

Отсюда следует, что тривиальное решение φ(t) ≡ 0 асимптотически устойчиво. На рисунке видно как фазовые кривые устремляются в нуль.

© МЭИ (ТУ) 2007