Исследуем на устойчивость решение задачи Коши

Очевидно, что это решение задачи — тривиальное решение, точка покоя системы, φ(t) = 0,( т.е. φ₁(t) = 0, φ₂(t) = 0).

Докажем, что это нулевое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову при t → ∞.

Легко видеть, что решение системы, проходящее через точку (0, x₁(0) , x₂(0)), имеет вид:

Возьмём произвольное ε > 0, δ = ε и исследуем поведение при t → ∞ тех решений x= x(t), которые удовлетворяют условию ‌ x(0) − φ(0) ‌ < δ, δ > 0 :

Отсюда следует, что тривиальное решение φ(t) ≡ 0 асимптотически устойчиво. На рисунке видно как фазовые кривые устремляются в нуль.