| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
Системы дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Фазовое пространство Фазовые траектории
Существование и единственность решения задачи Коши
Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения
Линейные системы OДУ. Структура решения
Системы ОДУ. Поведение решений
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ
Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению
Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем
Исследуем на устойчивость решение задачи Коши
Очевидно, что решение задачи — тривиальное решение, точка покоя системы, φ(t) ≡ 0,( т.е. φ1(t) ≡ 0, φ2(t) ≡ 0).
Докажем, что это тривиальное решение устойчиво при t > 0.
Легко видеть, что решение системы, проходящее через точку (0, x1(0) , x2(0)), имеет вид:
Возьмём произвольное ε >0 и рассмотрим поведение при t > 0 тех решений x= x(t), которые удовлетворяют условию x(0) − φ(0) < δ , где δ = ε >0:
Последнее неравенство справедливо при всех t > 0 .
Получили, что все, близкие в начальный момент к точке покоя решения, остаются вблизи неё всё последующее время. То есть точка покоя — устойчивое по Ляпунову решение системы.
На рисунке изображено несколько фазовых кривых системы (это эллипсы). Видно, что те из них, которые начинаются вблизи нуля, всегда вблизи нуля остаются.
| Ещё |