УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА. Примеры

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ высших порядков

  ОДУ высших порядков. Понижение порядка

  Линейные ОДУ n-го порядка

  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

  Структура решения линейного ОДУ n-го порядка

  Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

 Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами

 Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения

 Уравнение Эйлера

  Системы дифференциальных уравнений

  Численные методы решения ОДУ

Найдём общее решение уравнения Эйлера x2y'' + 3xy' + y = 0.

Выполним замену x = et, перейдём к новой переменной t = ln x :

После подстановки в уравнение имеем: 2g'' + 2g' + g = 0. Составим и решим характеристическое уравнение: 2 + 2 λ +1 =0, λ1 = λ2 = −1.

Фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции e-t и te-t, а общее решение g(t,C1, C2) = C1et + C2t et.

Вернувшись к переменной x, t = ln x, получим общее решение уравнения Эйлера: y(x,C1, C2) = C1e−lnx + C2lnx e−lnx,

y(x,C1, C2) = C1x−1 + C2lnx −1

© МЭИ (ТУ) 2007