| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Найдём общее решение уравнения Эйлера x2y'' + 3xy' + y = 0.
Выполним замену x = et, перейдём к новой переменной t = ln x :
После подстановки в уравнение имеем: 2g'' + 2g' + g = 0. Составим и решим характеристическое уравнение: 2λ2 + 2 λ +1 =0, λ1 = λ2 = −1.
Фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции e-t и te-t, а общее решение g(t,C1, C2) = C1e−t + C2t e−t.
Вернувшись к переменной x, t = ln x, получим общее решение уравнения Эйлера: y(x,C1, C2) = C1e−lnx + C2lnx e−lnx,y(x,C1, C2) = C1x−1 + C2lnx −1