МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПОСТРОЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ. Примеры

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ высших порядков

  ОДУ высших порядков. Понижение порядка

  Линейные ОДУ n-го порядка

  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

  Структура решения линейного ОДУ n-го порядка

 Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения

 Структура общего решения линейного однородного уравнения

 Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

 Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения

  Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

  Системы дифференциальных уравнений

  Численные методы решения ОДУ

Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью.

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1(x) = ln x , y2(x) = x.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C1(x) lnx + C2(x) x:

Подставим выражения для производных в уравнение:

Для неизвестных функций C1(x), C2(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Окуда имеем:

И тогда частным решением исходного уравнения второго порядка является функция y*(x) = C1(x) lnx + C2(x) x:

© МЭИ (ТУ) 2007