Исследуем поведение решений дифференциального уравнения   y ' = cos πy .

В какой момент времени x₁ решение с начальным условием y(0) = 0 достигнет значения 0.5? Является ли точка y = 0.5 неподвижной точкой? Решения каких типов имеет уравнение?

Время  x₁, за которое решение задачи Коши   y ' = cosπy , y(0) = 0 достигнет значения 0.5, определяется равенством

Этот интеграл расходится. Значит точка, начавшая из нуля движение вдоль оси x, никогда не придет в точку y = 0.5 .

На рисунке видно, что интегральная кривая, проходящая через начало координат асимптотически приближается снизу к прямой y = 0.5 .

Точка   y = 0.5 — неподвижная точка уравнения. Действительно, функция   y = 0.5 является решением задачи Коши   y ' = cos πy , y(0) = 0.5 . Это означает, что точка, начавшая движение из y = 0.5 остается на месте.

Для того чтобы ответить на вопрос о типах решений уравнения, изобразим его поле направлений.

Видно, что уравнение имеет ограниченные решения в областях

Уравнение имеет неподвижные точки: