Высшая математика

  В конечномерном евклидовом пространстве со скалярным произведением (x, y) и с ортонормированным базисом e₁,, ..., e_n иногда могут быть полезны следующие соотношения.

Для любых векторов x, y и z справедливо неравенство треугольника

|x - y| ≤ |x - z| + |z - y|

Для любых векторов x, y и z справедливо тождество параллелограмма

|x - y|² + |x + y|² = 2·( |x | + |y |²).

Для любых векторов x, y и z справедливо тождество косинусов

cos²{x,e₁}+ cos²{x,e₂}+ ... + cos²{x,e_n} = 1.

Если x — вектор-столбец координат вектора в ортонормированном базисе, то скалярное произведение скалярное произведение (x, y) векторов x и y можно записать в матричной форме: (x, y) = x·y^T.

Заметим, что если A —квадратная матрица соответствующего размера, то (A·x, y) = x·A^T·y^T.