Предел последовательности

Для любого существует такое , зависящее от , что при всех справедливо неравенство .

Для , , что при справедливо .

.

Задача. Доказать по определению, что .

Что доказать?

, при , проще говоря, .

Так ли это? Сначала посчитаем: ; .

Стремится ли к ?

Mathcad, Предел последовательности 1, Предел последовательности 2

Сравните графическую и числовую иллюстрации. Осторожно!

И всё же нужно доказать неравенство. Обратимся к графику. Последовательность возрастает и . Значит нужно найти такое , что при всех справедливо , в нашем случае

Mathcad Предел последовательности 3

При , при , и т.д.

Теперь понятно как найти :

следует решить уравнение , в нашем случае, .

Mathcad Предел последовательности 4

Впрочем, можно сразу. Mathcad Предел последовательности 5

Посмотрим известные «замечательные пределы»

Mathcad Предел последовательности 6

Предел функции в точке

Для любого (как бы мало оно ни было) существует такое число , , что для , удовлетворяющих неравенству , справедливо .

Другими словами, неравенство справедливо для , удовлетворяющих неравенству .

Как и для последовательностей, эту задачу можно решать графически.

Запишем только эквивалентные неравенства:

и

Mathcad Предел функции 1

Дифференцирование

Нет проблем!

ТР Дифференцирование, задача 5 ТР Графики Задача 2

Mathcad Производная 1

На занятиях можно разобрать, попытаться понять задачи 1 и 8 своего варианта из ТР «Пределы».

Студенты могут решать задачи 5–14 из ТР «Дифференцирование».